Représentation des signaux et problèmes inverses

Libellé du cours :	Représentation des signaux et problèmes inverses
Département d'enseignement :	MIN / Mathématiques - Informatique
Responsable d'enseignement :	Monsieur PIERRE-ANTOINE THOUVENIN / Monsieur PIERRE CHAINAIS
Langue d'enseignement :	Français
Ects potentiels :	4
Grille des résultats :	Grade de A+ à R
Code et libellé (hp) :	G1G2_ED_MIN_RSP - Repr. signaux et pblm inverses

Equipe pédagogique

Enseignants : Monsieur PIERRE-ANTOINE THOUVENIN / Monsieur PIERRE CHAINAIS / Monsieur Pierre PALUD
Intervenants extérieurs (entreprise, recherche, enseignement secondaire) : divers enseignants vacataires

Résumé

Ce cours consiste en une initiation aux problèmes inverses en traitement du signal et des images, basée sur la notion de représentation. Le contenu du cours s'articule autour de plusieurs outils mathématiques fondamentaux pour ce domaine (transformée temps-fréquence, transformée temps-échelle, analyse multi- résolution et optimisation convexe), ainsi que des approches algorithmiques permettant leur mise en oeuvre numérique. Plusieurs applications concrètes sont abordées dans le cas du traitement de signaux sonores, images, vidéos, voire de données plus abstraites (graphes), allant du débruitage d’image à la séparation de sources audio, en passant par la déconvolution de signaux parcimonieux et d'images naturelles. Ce cours constitue une initiation à un champ de recherche très actif et inter-disciplinaire, à l’interface entre apprentissage statistique (machine learning) et traitement du signal. Ces thématiques sont de fait en effervescence ces 15 dernières années, notamment suite à l'introduction de la notion fondamentale de parcimonie. Une première partie est consacrée à la notion de représentation d'un signal afin de comprendre les enjeux d'un changement de représentation en vue d'un traitement ultérieur (compression, restauration, extraction d'information pertinente). En particulier sont introduites une représentation temps-fréquence (basée sur la transformée de Fourier à court terme) ainsi que la notion de représentation temps-échelle pour mettre en évidence des caractéristiques intrinsèques des signaux. Les représentations étudiées dans le première partie s'inscrivent naturellement dans le cadre de la deuxième partie consacrée aux problèmes inverses. Un problème inverse consiste, à partir d'observations d'un phénomène, à estimer une collection de paramètres caractéristiques issus d'un modèle descriptif du phénomène. En effet, les représentations étudiées fournissent alors une information facilement exploitable sous forme de connaissance a priori. La notion de problème inverse mal posé est introduite en premier lieu, conduisant à la notion de « régularisation » aussi bien sous la forme de pénalités dans une fonction de coût en optimisation que dans un cadre probabiliste (bayésien). D'une part, l’objectif de la modélisation consiste à limiter l’espace des solutions acceptables en se basant sur une représentation pertinente des données, permettant de remonter des observations à une estimation des paramètres d'intérêt. C’est souvent le cas lorsqu’on dispose d’observations indirectes d’un phénomène, par exemple dans le cas de l'échographie d’un foetus, un enregistrement de sons sous-marins ou des images d’une galaxie. Il s’agit alors d’estimer/reconstruire l’objet observé avec la plus grande fidélité possible. D’autre part, ces modèles doivent pouvoir être traités à l'aide d'algorithmes d’inférence efficaces. Nous mentionnons quelques grandes familles de modèles (approches bayésiennes, parcimonie…) et deux algorithmes associés (descente de gradient, descente de gradient proximale). Des exemples en restauration d'images sont considérés. Les notions abordées sont mobilisées en TP lors d'application numériques conduites en Python (notebooks Jupyter). Ces travaux illustrent le cheminement de la démarche de résolution dans des contextes applicatifs représentatifs, allant des aspects théoriques jusqu'à leur implantation algorithmique. Mots clés : représentation des signaux, analyse temps-fréquence/temps-échelle, ondelettes, analyse multi-résolution, problèmes inverses, inférence bayésienne, optimisation convexe. Contenu du cours : Partie 1 : Représentation des signaux - Chapitre 1 : Représentation des signaux et des images - Mots clés : Notion de représentation, transformée de Fourier (Parseval, Plancherel), transformée de Fourier discrète, Théorème de Gabor-Heisenberg, base orthonormée d'un espace de Hilbert; - Chapitre 2 : Analyse temps-fréquence - Mots clés : Transformée de Fourier à court terme (continue et discrète), atomes temps-fréquence, théorème d'inversion et de conservation de l'énergie; - Chapitre 3 : Transformée en ondelettes continue - Mots clés : Ondelettes réelles, transformée en ondelettes continue, fonction d'échelle, théorème de reconstruction, scalogramme; - Chapitre 4 : Bases d'ondelettes orthogonales - Mots clés : Analyse multi-résolution, transformée en ondelettes dyadique, base d'ondelettes orthogonales, équation d'échelle, filtres miroirs conjugués algorithme à trou (Mallat), ondelettes 2D. Partie 2 : Introduction aux problèmes inverses - Chapitre 1 : Introduction - Mots clés : Problème bien/mal posé (Hadamard), moindres carrés, pseudo-inverse (Penrose-Moore), SVD, conditionnement d'une matrice, régularisation (Thikhonov, parcimonie, TV); - Chapitre 2 : Cadre statistique - Mots clés : bruit (gaussien, poissonien, laplacien), estimateur du maximum de vraisemblance, régularisation bayésiennce, théorème de Bayes, estimateur du maximum *a posteriori*, - Chapitre 3 : Éléments d'optimisation convexe - Mots clés : minimiseur local/global, ensemble/fonction convexe, semi-continuité inférieure, problème d'optimisation, théorème d'existence et d'unicité d'une solution, sous-différentiel, optimalité au 1er ordre, opérateur proximal, descente de gradient, descente de gradient proximal.

Objectifs pédagogiques

À l’issue du cours, l’élève sera capable de : - comprendre et mettre en oeuvre une stratégie élémentaire de résolution d'un problème inverse. L’enseignement a lieu de façon à entretenir des allers-retours entre théorie et pratique en Python. - expliquer / comprendre les enjeux liés aux notions de : représentation d'un signal; transformation temps-fréquence; transformation temps-échelle; transformée de Fourier à court terme; transformée en ondelettes (continue; orthogonale); problème inverse mal posé; estimateur du maximum de vraisemblance / maximum a posteriori; parcimonie; optimisation convexe; opérateur proximal; descente de gradient; descente de gradient proximal. Contribution du cours au référentiel de compétences. À l’issue du cours, l’étudiant aura progressé dans sa capacité à : - C2 (Représenter et modéliser) : Exploiter une représentation temps-fréquence ou en ondelettes pour extraire une information pertinente d'un signal. Modéliser un problème inverse linéaire multidimensionnel dans un cadre statistique, formuler la recherche d'un estimateur sous la forme d'un problème d'optimisation; - C2 (Résoudre et arbitrer) : Appliquer un algorithme de calcul numérique pour obtenir une représentation temps-fréquence / temps-échelle, interpréter les informations extraites de ces transformations. Mettre en oeuvre un algorithme de résolution élémentaire, identifier et discuter les limites de validité de la solution proposée pour la résolution de quelques problèmes inverses linéaires.

Objectifs de développement durable

Modalités de contrôle de connaissance

Contrôle Continu
Commentaires: Contrôle continu / contrôle terminal : - 2 interrogations écrites (sur chacune des 2 grandes parties du cours, en milieu et fin de cours) - compte-rendus de TP notés (4 devoirs en tout).

Ressources en ligne

Cours , TP, TD, document additionnel sur moodle (transformée de Fourier, article séparation de source TP3). Livre de référence : Mallat, S. G. (2009) A wavelet tour of signal processing: the sparse way. 3rd ed. Amsterdam ; Boston: Elsevier/Academic Press.

Pédagogie

Cours magistral, TP en binôme, TD individuel avec éléments de correction par groupe.

Séquencement / modalités d'apprentissage

Nombre d'heures en CM (Cours Magistraux) :	22
Nombre d'heures en TD (Travaux Dirigés) :	12
Nombre d'heures en TP (Travaux Pratiques) :	0
Nombre d'heures en Séminaire :	12
Nombre d'heures en Demi-séminaire :	0
Nombre d'heures élèves en TEA (Travail En Autonomie) :	23
Nombre d'heures élèves en TNE (Travail Non Encadré) :	0
Nombre d'heures en CB (Contrôle Bloqué) :	0
Nombre d'heures élèves en PER (Travail PERsonnel) :	0
Nombre d'heures en Heures Projets :	0

Pré-requis

- Cours : bonne compréhension des cours de probabilités et statistiques, traitement du signal, notions d’optimisation et analyse fonctionnelle, du goût pour les applications physiques. - TP : notions de programmation en Python. Remarque : cours électif destiné principalement aux G2

Nombre maximum d'inscrits

64

Remarques